2 đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc toán lớp 7 bài 2 giải bài tập được đăng ở chuyên mụcGiải Toán 7và biên soạn theo phần toán hình 7 thuộc SKG Toán lớp 7. Bài giải toánlớp 7được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy giỏi toán tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để Chương 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONGBài 1: HAI GÓC ĐỐI ĐỈNHI. MỤC TIÊU: Học sinh hiểu biết thế nào là hai góc đối đỉnh và nắm được tính chất của hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. cho 2 đường thẳng xx'và yy' vuông góc với nhau tại điểm O.Trên tia Ox lấy điểm A ,trên tia Ox' lấy điểm B trên đường thẳ HOC24 Lớp học Bài Tập Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc. Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo. Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết dạng này như sau: Bài toán về gócbao gồm xác định và tính: góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. Trong đó, tính và xác định góc giữa hai đường thẳng là mấu chốt cơ bản. Các Warum Flirten Männer Wenn Sie Vergeben Sind. Ví dụ 1 Cho hình lập phương Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây a \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} .\ c \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\. Hướng dẫn giải a Vì EG // AC nên góc giữa \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG}\ cũng bằng góc giữa \\overrightarrow {AB}\ và \\overrightarrow {AC}\ Vậy \\left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {EG} } \right = \left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right = {45^0}.\ b Vì AB // DG nên góc giữa \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\ cũng bằng góc giữa \\overrightarrow {DC}\ và \\overrightarrow {DH}\ Vậy \\left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right = \left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right = {45^0}.\ Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác có SA = SB =SC và có \\widehat {{\rm{ASB}}} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}.\ Chứng minh rằng \SA \bot BC, SB\bot AC, SC \bot AB.\ Hướng dẫn giải Xét các tích vô hướng \\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} .\ Ta có \\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \\ = \left {\overrightarrow {SA} } \right.\left {\overrightarrow {SC} } \right.c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} - \left {\overrightarrow {SA} } \right.\left {\overrightarrow {SB} } \rightc{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \end{array}\ Theo giá thuyết \\left {\overrightarrow {SB} } \right = \left {\overrightarrow {SC} } \right\ Và \c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} = c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\ Vậy \SA \bot BC.\ Chứng minh tương tự ta có \SB\bot AC, SC \bot AB.\ Ví dụ 3 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Lời giải Ta có \\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ}\ Và \\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ}\ Do đó \2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\ Vậy \2.\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \left {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right.\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\ Hay \\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\ Tức là \PQ \bot AB.\ Ví dụ 4 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, \\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}.\. a Chứng minh rằng AB vuông góc CD. b Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \AB \bot IJ.\ Hướng dẫn giải a Ta có \\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \left {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right.\cos BAD - \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right.\cos BAC \end{array}\ Mặt khác ta có \AB = AC = AD,\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\ Nên \\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right.\cos BAD - \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right.\cos BAC = 0\ Vậy AB vuông góc với CD. b Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có \\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right\ Do đó \\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BC} } \right = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right\\ = \frac{1}{2}\left {\left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right\cos {{60}^0} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right\cos {{60}^0}} \right\\ = \frac{1}{2}\left {\frac{1}{2}{a^2} - {a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right = 0 \end{array}\ Vậy AB và IJ vuông góc nhau. Tài liệu gồm 39 trang, tổng hợp lý thuyết SGK, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề đường thẳng vuông góc – đường thẳng song song trong chương trình Hình học quát nội dung tài liệu phương pháp giải các dạng toán chuyên đề đường thẳng vuông góc – đường thẳng song song BÀI 1. HAI GÓC ĐỔI ĐỈNH. + Dạng 1. Hoàn thành một câu phát biểu hoặc chọn câu phát biểu đúng. + Dạng 2. Vẽ hình theo yêu cầu của đề bài rồi tìm cặp góc đối đỉnh hoặc không đối đỉnh. + Dạng 3. Vẽ hình rồi tính số đo của góc. + Dạng 4. Tìm các cặp góc bằng nhau. + Dạng 5. Gấp giấy để chứng tỏ hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. + Dạng 6. Nhận biết hai tia đối nhau. BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. + Dạng 1. Hoàn thành một câu phát biểu hoặc chọn câu phát biểu đúng. + Dạng 2. Vẽ đường thẳng vuông góc, vẽ đường trung trực của một đoạn. + Dạng 3. Gấp giấy để tạo thành đường vuông góc hay đường trung trực. + Dạng 4. Nhận biết hai đường thẳng vuông góc, nhận biết đường trung trực của một đoạn thẳng. + Dạng 5. Tính số đo của góc. BÀI 3. CÁC GÓC TẠO BỞI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG. + Dạng 1. Vẽ hình và tìm cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị, cặp góc trong cùng phía. + Dạng 2. Tính số đo góc khi biết một trong bốn góc tạo bởi hai đường thẳng. + Dạng 3. Tìm các cặp góc bằng nhau, các cặp góc bù nhau. BÀI 4. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. + Dạng 1. Hoàn thành một câu phát biểu hoặc chọn câu phát biểu đúng. + Dạng 2. Vẽ một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. + Dạng 3. Nhận biết hai đường thẳng song song. [ads] BÀI 5. TIÊN ĐỀ Ơ – CLIT VỀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. + Dạng 1. Hoàn thành một câu phát biểu hoặc chọn câu trả lời đúng. + Dạng 2. Vẽ đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. + Dạng 3. Tính số đo góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. + Dạng 4. Vận dụng tính chất hai đường thẳng song song để nhận biết hai góc bằng nhau hoặc bù nhau. + Dạng 5. Vận dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song và tính chất hai đương thẳng song song. BÀI 6. TỪ VUÔNG GÓC ĐẾN SONG SONG. + Dạng 1. Hoàn thành một câu phát biểu bằng cách điền vào chỗ trống, bằng cách nhìn vào hình vẽ hoặc chọn câu trả lời đúng. + Dạng 2. Nhận biết hai đường thẳng song song vì chúng cùng vuông góc hoặc cùng song song với một đường thẳng thứ ba. + Dạng 3. Nhận biết hai đường thẳng vuông góc. + Dạng 4. Tính số đo một góc bằng cách vẽ thêm một đường thẳng mới song song với một đường thẳng đã cho. BÀI 7. ĐỊNH LÍ. + Dạng 1. Phát biểu một định lí hoặc chọn câu phát biểu đúng. + Dạng 2. Viết giả thiết và kết luận của định lí. + Dạng 3. Nêu căn cứ của các khẳng định trong chứng minh định lí. Sắp xếp các câu chứng minh định lí cho đúng thứ tự. + Dạng 4. Cho giả thiết, kết luận của một định lí, diễn đạt định lí đó bằng lời. ÔN TẬP CHƯƠNG 1. + Dạng 1. Kiểm tra hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc. Vẽ đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc. Đường trung trực. + Dạng 2. Tính số đo góc. + Dạng 3. Phát biểu một định lí bằng cách điền vào chỗ trống, bằng cách nhìn vào hình vẽ hoặc chọn câu phát biểu đúng. + Dạng 4. Chứng minh một định lí. Tài Liệu Toán 7Ghi chú Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên bằng cách gửi về Facebook TOÁN MATH Email [email protected] Contents1 Chuyên đề luyện thi vào 10 Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc hoặc trùng nhau2 I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Chuyên đề luyện thi vào 10 Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc hoặc trùng nhau I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông gócII. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông gócIII. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Bạn đang xem 2 đường thẳng vuông góc lớp 10 Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, vuông góc hoặc trùng nhau là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham Câu hỏi trắc nghiệm Hàm số bậc nhấtToán nâng cao lớp 9 Chủ đề 4 Hàm số bậc nhất – hàm số bậc haiHàm số bậc nhấtĐể tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các đề này được biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập “Tìm m thỏa mãn điều kiện vị trí tương đối của hai đường thẳng”, vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết. Xem thêm Hướng Dẫn Cách Chơi 2 Acc Vltk Mobile Trên Bluestacks, Cách Mở Nhiều Cửa Sổ Bluestacks Cùng Lúc I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông góc + Cho hai đường thẳng d y = ax + b và d’ y = a’x + b- Hai đường thẳng cắt nhau d cắt d’ khi a ≠ a”- Hai đường thẳng song song với nhau d // d’ khi a = a” và b ≠ b”- Hai đường thẳng vuông góc d ⊥ d” khi = -1- Hai đường thẳng trùng nhau khi a = a” và b = b”+ Nếu bài toán cho 2 hàm số bậc nhất y = ax + b và y = a’x + b’ thì phải thêm điều kiện a ≠ 0 và a” ≠ 0 II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông góc Bài 1 Cho hai hàm số y = kx + m -2 và y = 5 – k.x + 4 – m. Tìm m, k để đồ thị của hai hàm sốa, Trùng nhaub, Song song với nhauc, Cắt nhauLời giảiĐể hàm số y = kx + m – 2 là hàm số bậc nhất khi k ≠ 0Để hàm số y = 5 – kx + 4 – m là hàm số bậc nhất khi 5 – k ≠ 0 ⇔ k ≠ 5a, Để đồ thị của hai hàm số trùng nhau Vậy với ; m = 3 thì đồ thị của hai hàm số trùng nhaub, Để đồ thị của hai hàm số song song với nhau Vậy với ; m ≠ 3 thì đồ thị của hai hàm số song song với nhauc, Để đồ thị của hai hàm số cắt nhau ⇔ k ≠ 5 – k ⇔ 2k ≠ 5 ⇔ Vậy với thì hai đồ thị hàm số cắt nhauBài 2 Cho hàm số y = 2m – 3x + m – 5. Tìm m để đồ thị hàm sốa, Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cânb, Cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oyc, Cắt đường thẳng y = -x – 3 tại một điểm trên OxLời giảiĐể hàm số là hàm số bậc nhất ⇔ 2m – 3 ≠ 0 ⇔ a, Gọi giao điểm của hàm số với trục Ox là A. Tọa độ của điểm A là Độ dài của đoạn Gọi giao điểm của hàm số với trục Oy là B. Tọa độ của điểm B là B 0; m – 5Độ dài của đoạn OB = m – 5 Ta có tam giác OAB là tam giác vuông tại AĐể tam giác OAB là tam giác vuông cân Vậy với m = 1 hoặc m = 2 thì đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cânb, Gọi A là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên trục Oy trục tung⇒ A 0; bThay tọa độ điểm A vào đồ thị hàm số y = 3x – 4 ta có b = 4Điểm A0; 4 thuộc đồ thị hàm số y = 2m – 3x + m – 5 nên ta có4 = 2m – 3. 0 + m – 5 ⇔ m – 5 = 4 ⇔ m = 9 thỏa mãnVậy với m = 9 thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên trục tungc, Gọi B là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = – x – 3 tại một điểm trên trục Ox trục hoành⇒ B a; 0Thay tọa độ điểm B vào đồ thị hàm số y = – x – 3 ta có a = – 3Điểm B -3; 0 thuộc đồ thị hàm số y = -x – 3 nên ta có0 = -3. 2m – 3 + m – 5 ⇔ -5m + 4 = 0 ⇔ m = thỏa mãnVậy với thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x – 3 tại một điểm trên trục hoànhBài 3 Cho hai đường thẳng d1 y = m + 1x + 2 và d2 y = 2x + 1. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấuLời giảiĐể hai đường thẳng cắt nhau thì m + 1 ≠ 2 ⇔ m ≠ 1Phương trình hoành độ giao điểmm + 1 x + 2 = 2x + 1⇔ mx + x + 2 = 2x + 1⇔ x m + 1 – 2 = -1⇔ x m – 1 = -1 Với Để hoành độ và tung độ trái dấu thì Vậy A1; 1Ba đường thẳng đồng quy nên đồ thị hàm số y = m – 2x + m + 3 đi qua điểm A1; 1Thay tọa độ điểm A vào phương trình ta có 1 = 1.m – 2 + m + 3 hay m = 0Vậy với m = 0 thì ba đường thẳng đồng quy III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Bài 1 Cho hàm số y = 2x + 3k và y = 2m + 1x + 2k – 3. Tìm điều kiện của m và k để đồ thị của hai hàm số là Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Suy nghĩ về câu tục ngữ Một cây làm chẳng nên non, ba cây chụm lại nên hòn núi cao Viết đoạn văn nghị luận về hiện tượng học tủ, học vẹt 19 Đoạn văn viết về Sở thích bằng tiếng Anh Trình bày suy nghĩ của em về trách nhiệm của thế hệ trẻ hôm nay đối với đất nước trong hoàn cảnh mới Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng hoặc trong không gian, các trường hợp tính cụ thể, kèm bài tập ví dụ chi tiết. Tính dựa vào vector chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng đó. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường đường thẳng d1,d2. lần lượt là vector chỉ phương của d1;d2 Khi đó, cos của góc giữa 2 đường thẳng được xác định bằng công thức Tính dự vào vector pháp tuyến Góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng bằng góc giữa 2 vector pháp tuyến của 2 đường thẳng đó. Khi đó, cos của góc giữa 2 đường thẳng được xác định bằng công thức Cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian Góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng góc giữa 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng đó. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường đường thẳng d1,d2. Khi đó, cos của góc giữa 2 đường thẳng được xác định bằng công thức Lưu ý góc giữa 2 đường thẳng trong không gian không được tính bằng vector pháp tuyến như trong mặt phẳng. Một số ví dụ minh họa Trên đây là những chia sẻ về góc giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian. Nếu có bất kỳ thắc mắc gì về phần kiến thức này, hãy comment bên dưới bài viết này nhé Ví dụ 1 Cho hình lập phương Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây a \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} .\ c \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\. Hướng dẫn giải a Vì EG // AC nên góc giữa \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG}\ cũng bằng góc giữa \\overrightarrow {AB}\ và \\overrightarrow {AC}\ Vậy \\left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {EG} } \right = \left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right = {45^0}.\ b Vì AB // DG nên góc giữa \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\ cũng bằng góc giữa \\overrightarrow {DC}\ và \\overrightarrow {DH}\ Vậy \\left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right = \left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right = {45^0}.\ Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác có SA = SB =SC và có \\widehat {{\rm{ASB}}} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}.\ Chứng minh rằng \SA \bot BC, SB\bot AC, SC \bot AB.\ Hướng dẫn giải Xét các tích vô hướng \\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} .\ Ta có \\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} – \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} – \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \\ = \left {\overrightarrow {SA} } \right.\left {\overrightarrow {SC} } \right.c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} – \left {\overrightarrow {SA} } \right.\left {\overrightarrow {SB} } \rightc{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \end{array}\ Theo giá thuyết \\left {\overrightarrow {SB} } \right = \left {\overrightarrow {SC} } \right\ Và \c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} = c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\ Vậy \SA \bot BC.\ Chứng minh tương tự ta có \SB\bot AC, SC \bot AB.\ Ví dụ 3 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Lời giải Ta có \\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ}\ Và \\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ}\ Do đó \2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\ Vậy \2.\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \left {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right.\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\ Hay \\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\ Tức là \PQ \bot AB.\ Ví dụ 4 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, \\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}.\. a Chứng minh rằng AB vuông góc CD. b Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \AB \bot IJ.\ Hướng dẫn giải a Ta có \\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \left {\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AC} } \right = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right.\cos BAD – \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right.\cos BAC \end{array}\ Mặt khác ta có \AB = AC = AD,\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\ Nên \\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right.\cos BAD – \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right.\cos BAC = 0\ Vậy AB vuông góc với CD. b Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có \\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right\ Do đó \\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BC} } \right = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right\\ = \frac{1}{2}\left {\left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right\cos {{60}^0} – {{\overrightarrow {AB} }^2} + \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right\cos {{60}^0}} \right\\ = \frac{1}{2}\left {\frac{1}{2}{a^2} – {a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right = 0 \end{array}\ Vậy AB và IJ vuông góc nhau.

2 đường thẳng vuông góc